Rada Miejska Bielsku-Białej nadała Szkole Podstawowej nr 23 w Bielsku-Białej imię Józefa Drożdża. Patron szkoły był harcerzem, nauczycielem, wychowawcą, działaczem sportowym. Jego nazwisko zostało wpisane do Księgi zasłużonych dla Bielska-Białej.